Matematik 20: TEOREMA DEL SENO

En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados a, b y c y el seno de sus respectivos ángulos opuestos A, B y C

$\frac{a}{\operatorname{sen}(A)}= \frac{b}{\operatorname{sen}(B)} = \frac{c}{\operatorname{sen}(C)}$

Demostración

El teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante.

Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.

Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene

$\operatorname{sen}\,A=\operatorname{sen}\,P=\frac{BC}{BP} = \frac{a}{2R}$

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

$\frac{a}{\operatorname{sen}\,A} = 2R$

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.

La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:

Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la circunferenciacircunscrita, entonces:
$\frac{a}{\operatorname{sen}\,A} =\frac{b}{\operatorname{sen}\,B} =\frac{c}{\operatorname{sen}\,C}=2R.$

Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:

En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.

$b = q a + c - 2 a b c o s b$

Aplicación

El teorema del seno es usado con frecuencia para resolver problemas en los que se conoce un lado del triángulo y dos ángulos y se desea encontrar las medidas de los otros lados.

Definiciones exponenciales

Función	Función inversa
$\operatorname{sen} \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \,$	$\arcsin x = -i \ln \left(ix + \sqrt{1 - x^2}\right) \,$
$\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{i} \,$	$\arccos x = -i \ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \,$
$\tan \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})} \,$	$\arctan x = \frac{i \ln \left(\frac{i + x}{i - x}\right)}{2} \,$
$\csc \theta = \frac{2i}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \,$	$\arccsc x = -i \ln \left(\tfrac{i}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{1}{x^2}}\right) \,$
$\sec \theta = \frac{2}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}} \,$	$\arcsec x = -i \ln \left(\tfrac{1}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{i}{x^2}}\right) \,$
$\cot \theta = \frac{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \,$	$\arccot x = \frac{i \ln \left(\frac{i - x}{i + x}\right)}{2} \,$
$\operatorname{cis} \, \theta = e^{i\theta} \,$	$\operatorname{arccis} \, x = \frac{\ln x}{i} \,$

Matematik 20

martes, 7 de junio de 2011

TEOREMA DEL SENO

Demostración

Definiciones exponenciales

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Colaboradores

Archivo del blog